Deze opgave ‘De vijver’ bestaat uit sommen over inhoud en oppervlakte, op niveau eerste klas havo en vwo.

In een tuincentrum koopt bioloog Kenneth een rechthoekige vijver gemaakt van hard plastic, beneden zie je 3 plaatjes ervan: een bovenaanzicht en 2 zij-aanzichten (dwarsdoorsnedes). De bijbehorende getallen zijn in meters.

Om ervoor te zorgen dat in de vijver verschillende soorten planten en dieren kunnen leven, zijn er 3 niveaus. Klik op het plaatje rechtsonder en je ziet dat de vijverrand eerst een halve meter loodrecht omlaag loopt, dan 0,8 meter naar opzij, dan (afstand A) loodrecht omlaag, daarna 1,4 meter naar opzij en dan weer een halve meter opzij totdat de bodem is bereikt. Alle getekende hoeken zijn rechte hoeken, de bak is symmetrisch, zowel over de lengte als over de breedte.

Vragen:

1) Hoeveel liter water past er in de vijver (dus wat is de inhoud als ie tot de rand vol zou zitten)?

2) Kenneth boort enkele centimeters onder de bovenste rand van vijverwand enkele afvoergaten, waardoor het water kan wegstromen en de bak dus nooit helemaal gevuld kan raken. Na de vijver in zijn tuin te hebben ingegraven, vult Kenneth hem met een tuinslang waaruit elke 2 minuten 1 m3 water stroomt. Hij merkt na precies 160 minuten dat het waterniveau in de vijver niet verder stijgt en draait de kraan dicht. Hoeveel water zit er nu in en tot hoever onder de rand ligt de waterspiegel (in cm, afronden op 1 decimaal)?

3) Watervlooien zijn kleine geleedpotigen die leven in zoetwater, en Kenneth gooit er meteen na het ingraven van de bak een paar in z’n vijver die zich snel voortplanten. Na verloop van tijd berekent hij dat er circa 16 miljoen vlooien in z’n vijver moeten zitten. Hoeveel leefruimte heeft zo’n vlo dan gemiddeld (gemeten in milliliter)?

4) Op het wateroppervlak leven en jagen territoriale diertjes genaamd ‘schaatsenrijders’, in totaal 400 exemplaren. Hoe groot is het gemiddelde territorium van zo’n dier (gemeten in dm2)?

5) Als een salamander gemiddeld (per dier) 380 liter water als leefruimte nodig heeft, kunnen er dan meer of minder dan 200 in de vijver leven?

6) Kikkers overwinteren op de bodem van de vijver, maar alleen in het diepste gedeelte ervan (vanwege het risico op bevriezing). Je treft gemiddeld 1 kikker aan per 160 cm2 bodemoppervlak. Hoeveel overwinteren er in totaal op de vijverbodem?

Succes!

Antwoorden:

1) Voor het antwoord op deze som kan je de vijver-bak opdelen in 3 horizontale niveaus: boven, midden en onder.

De bovenste laag is het breedst, namelijk 6 bij 8 meter, en een halve meter diep. Omdat je de inhoud in liters moet beantwoorden, is het makkelijk om de maten eerst om te rekenen van meter naar decimeter (dm), want dan krijg je:

Lengte (in dm) x Breedte (in dm) x Hoogte (in dm) = Inhoud (in dm3, en dm3 is gelijk aan liter).

–> L x B x H = 80 x 60 x 5 = 24.000 liter (dm3)

Om de inhoud van het middengedeelte te berekenen moet je eerst de afmetingen van de breedte en hoogte (of ‘diepte’) bepalen:
- Breedte: 60 dm – 2 x 8 dm = 44 dm
- Hoogte: 25 dm –  2 x 5 dm = 15 dm

–> L x B x H = 80 x 44 x 15 = 52.800 dm3

De inhoud van de diepste laag –> L x B x H =  80 x (60 – 2 x 8 – 2 x 14) x 5 = 80 x 16 x 5 = 6.400 dm3

==> totale inhoud van de vijver-bak: 24.000 + 52.800 + 6.400 = 83.200 liter

2) Totale hoeveelheid water = aantal minuten x liter water per minuut = 160 x 1.000 / 2 = 160 x 500 = 80.000 liter (dm3), dus dat is 3.200 liter minder in de bovenste waterlaag dan als er onder de rand geen gaatjes waren geboord. –> 24.000 – 3.200 = 20.800 dm3 water

Tot hoeveel centimeter onder de bovenste rand van de vijver staat het water nu? –> Om dat te berekenen, bestaan meerdere opties:

- methode A: inhoud = L x B x H –> 20.800 dm3 = 80 dm x 60 dm x H –> 20.800 / 4.800 = H = 4,33 dm = 43,3 cm –> dus tot 6,7 cm (50 – 43,3) onder de bovenrand van de bak komt het water (of, sneller, kijken hoeveel water ‘mist’ –> 3.200 / 4.800 = 0,67 dm –> tot 6,7 centimeter onder de rand)

- methode B: bereken het percentage (%) van het water dat ‘mist’ in de bovenlaag
–> 3.200 / 24.000 x 100% = 13,33% –> 13,33% van 50 cm (hoogte) mist = 6,7 cm

3) Nu deel je de totale vijverinhoud in milliliters (1 ml = 1 cm3) door het aantal dieren –> 80.000.000 ml / 16 miljoen = 5 ml leefruimte per watervlo

4) Voor deze vraag kan je het wateroppervlak van de vijver (in dm2) delen door het aantal diertjes
–> 80 dm x 60 dm / 400 = 12 dm2 gemiddeld territorium-oppervlak

5) Hier deel je de totale inhoud door de leefruimte per salamander –> 80.000 dm3 / 380 = ruim 210, dus meer dan 200 (deze vraag, zoals je hebt gemerkt, lijkt sterk op die van vraag 3, maar nu is de berekening omgekeerd)

6) Je deelt nu het oppervlak (in cm2) van de diepste waterlaag door de ruimte per kikker –> 800 cm x 160 cm / 160 cm2 = 800 kikkers